Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach

计算机科学的数学基础：可视化方法（第四版）

• 本书以可视化方式介绍计算机科学所需的数学基础，内容涵盖数论、代数、逻辑、组合数学、概率论、统计学、三角学、坐标系统、曲线、行列式、向量、方程、复数、黎曼猜想、矩阵、几何变换、解析几何、特征向量与特征值、微积分、面积、体积以及傅里叶级数等。

• 你能获得：

  • 扎实的数学基础，为学习计算机科学其他高阶知识做准备。
  • 通过可视化方法理解复杂的数学概念，提高解决实际问题的能力。
  • 了解计算机科学中数学的应用，开阔视野。

核心内容：

1. 计数系统：

• 介绍十进制系统，二进制系统，八进制系统和十六进制系统。

• 将任何基数的数字转换为其他基数的数字

• 加法和减法二进制数、数字、八进制数

• 详细解释：

  • 十进制（基数为 10）：我们日常使用的计数系统，使用 0-9 十个数字。
  • 二进制（基数为 2）：计算机的基础，只使用 0 和 1 两个数字。
  • 八进制（基数为 8）：程序员常用的一种进制，使用 0-7 八个数字。
  • 十六进制（基数为 16）：另一种程序员常用的进制，使用 0-9 和 A-F 十六个符号。
  • 数字进制之间的转换是计算机科学中的基本技能，例如将十进制数转换为二进制数，以便计算机能够处理。
  • 不同的进制在不同的应用场景中各有优势，例如十六进制在表示颜色值时非常方便。

• 举例：

  • 十进制：1234 = (1 * 10^3) + (2 * 10^2) + (3 * 10^1) + (4 * 10^0)
  • 二进制：1011（二进制）= (1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0) = 11（十进制）
  • 十六进制：A3（十六进制）= (10 * 16^1) + (3 * 16^0) = 163（十进制）

2. 代数基础：

• 介绍代数的符号、运算规则、指数、对数、函数、级数等概念，并通过示例进行说明，帮助读者掌握代数运算的基本技能。理解显式和隐式方程，函数域和范围，奇偶函数和幂级数。

• 可以帮助大家更好地理解数学的各个分支，例如三角学，几何学，分析几何学和微积分学。

• 详细解释：

  • 代数是数学的一个重要分支，用于研究数字和符号之间的关系。
  • 代数运算规则包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等。
  • 指数是表示一个数自乘的次数，对数是指数的逆运算。
  • 函数描述了变量之间的关系，级数是无穷多个数的和。

• 举例：

  • 解方程：2x + 3 = 7，解得 x = 2
  • 函数：y = f(x) = x^2，当 x = 3 时，y = 9

3. 逻辑学

• 详细解释真值表、命题逻辑和集合论的基本概念。介绍并理解了命题等价、蕴涵等逻辑推理方法，可以用于形式化地描述现实问题，为程序设计和问题求解提供理论基础。

• 考察集合建构、空集、子集、超集和全集等关系

• 详细解释：

  • 逻辑学是研究推理规则的学科，常用于判断命题真假。
  • 真值表用于表示逻辑表达式的真值。
  • 命题逻辑是研究命题及其关系的逻辑系统。
  • 集合论是研究集合及其关系的数学理论。

• 举例：

  • 真值表：如果 p 为真，q 为假，那么 p AND q 为假。
  • 集合：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

4. 组合数学：

• 主要讲解排列和组合公式的计算方法。这对于计算机科学中解决计数问题，例如计算算法复杂度和生成数据结构至关重要。

• 详细解释：

  • 组合数学是研究组合问题的数学分支。
  • 排列是指从 n 个不同元素中取出 k 个元素，并按照一定的顺序排列。
  • 组合是指从 n 个不同元素中取出 k 个元素，不考虑顺序。

• 举例：

  • 从 5 个不同的人中选出 3 个人组成一个小组，有多少种不同的选法？答案：C(5, 3) = 10

5. 概率论：

• 介绍概率的基本概念，从独立事件和相关事件到互斥事件和包含事件，以及如何操作组合。介绍概率的基本概念和公式，涵盖独立事件、相关事件、互斥事件和包含事件，介绍如何使用组合技巧计算事件概率，最后通过大量的已解决的例子，使读者能够计算事件的概率。

• 详细解释：

  • 概率论是研究随机现象规律的数学分支。
  • 独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
  • 相关事件是指一个事件的发生影响另一个事件的发生。
  • 互斥事件是指两个事件不能同时发生。
  • 包含事件是指一个事件包含另一个事件。

• 举例：

  • 抛硬币：正面朝上的概率是多少？答案：1/2
  • 从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是多少？答案：13/52 = 1/4

6.统计学

• 介绍统计学的基础知识，包括数据表示和汇总（例如频率表、茎叶图和直方图），以及用于衡量数据集中心趋势和离散度的指标，如均值、中位数、模式、范围、方差和标准差。读者将学习到正态分布，协方差与相关性、线性回归等基本概念，这些概念是分析数据和理解模式的关键。

• 详细解释：

  • 统计学是收集、分析、解释和呈现数据的科学。
  • 统计学可以帮助我们从数据中提取有用的信息，并做出合理的决策。

• 举例：

  • 计算一个班级学生的平均成绩。
  • 分析一个地区的人口年龄结构。

7. 其他数学概念：

• 主要讲解的数学概念，包括模运算、三角学、坐标系、曲线、行列式、向量和方程。

• 详细解释：

  • 模运算：用于计算余数，是密码学的基础。
  • 三角学：研究三角形的边和角之间的关系，用于图形学和游戏开发。
  • 坐标系：用于描述点在空间中的位置，用于计算机图形学和机器人学。
  • 曲线：用于描述物体的形状，用于 CAD 和 CAM。
  • 行列式：用于判断矩阵是否可逆，用于线性代数。
  • 向量：具有大小和方向的量，用于物理学和工程学。
  • 方程：表示等式关系的数学表达式，用于解决各种数学问题。

问答：

Q: 这本书适合哪些人阅读？

A: 这本书主要面向计算机科学专业的本科生，也适合那些想要学习计算机科学相关数学知识的人阅读。

Q: 这本书的特点是什么？

A: 这本书最大的特点是采用可视化方法，用大量的图像和图表来解释复杂的数学概念，帮助读者更好地理解和掌握知识。

Q: 阅读这本书需要什么基础？

A: 阅读这本书需要一些基本的中学数学知识，例如代数、几何、三角学等。如果读者之前没有接触过这些知识，可以先学习一些相关的基础课程。